Noviembre

SEMANA 1

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

La derivada de una función de variable compleja está  definida y cumple las mismas propiedades que la derivada de una función real y se define de la siguiente manera:

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

SEMANA 2 

FUNCIÓN ANALÍTICA U HOLOMORFA

• Una función f(z) es analítica (u holomorfa) en un abierto A si posee derivada en todo punto de A.
• Cuando se dice que una función f es analítica en un conjunto S que no es abierto, quedará sobrentendido que f es analítica en algún abierto que contiene a S.
• Cuando decimos que una función es analítica en un punto z0 , la derivada debe existir en todos los puntos de algún entorno de z0
• Si una función de la forma: f(z)= u(x,y) + i v(x.y), y si cumplen las ecuaciones de  Cauchy- Riemann entonces la función es analítica y entera

ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria  para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Sea la funcion:  f (z) = u(x,y) + iv(x,y)

Si la función f(z) es derivable en un punto zo= xo + iyo entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:

FUNCIONES ARMÓNICAS

Sea f : D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rn) una función real de n variables, se la llama armónica en D si sobre D tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden.

Las funciones armónicas son aquellas que verifican las ecuaciones de Laplace.

INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO

$F$ ( z ) es una integral indefinida (o primitiva) de una función compleja $f\left(z\right)$ si $F^{\text{'}}\left(z\right)$ = f(z) para $z$ ∈D, un cierto dominio.

∫ f(z) dz = F(z)

Propiedades

• ∫ C ( λ f ( z ) + μg ( z ) ) dz = λ ∫ C f ( z ) dz + μ ∫ C g ( z ) dz .
• La trayectoria de integración se puede descomponer:
• ∫ Cf(z)dz = ∫ C1f(z)dz + ∫ C2f(z)dz con C1 y C2 subdivisiones de C.La trayectoria de integración se puede invertir:
• ∫ z0znf(z)dz = -∫ znz0f(z)dz.∫ zndz = zn+1 n + 1 + K, si n≠ -1,
• ∫ ezdz = ez + K,
• ∫ sin(z)dz = -cos(z) + K,
• ∫ cos(z)dz = sin(z) + K.

CURVAS EN EL PLANO

Para calcular la integral entre dos puntos se puede hacer a través de distintas curvas que unen dichos puntos, por lo que se debe comenzar estudiando la representación paramétrica de una curva.

SEMANA 3

INTEGRAL DE LÍNEA

El concepto de integral definida no es tan fácilmente generalizable. Recordemos que en el caso real la integral definida real ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ se obtiene integrando en un intervalo de números reales $\left[a,b\right]$.

En el plano complejo hay diferentes trayectorias de aproximación entre dos puntos, y el concepto equivalente al de intervalo de integración es el de un arco de curva de trayectoria de integración $C$.

Figura 19: Tres trayectorias para ir del punto $2$ + 2i al punto $7$ + 5i

La curva de trayectoria de integración $C$ a menudo se puede representar con una función de variable real que depende de un parámetro: $$$$C : z(t) = x(t) + iy(t)ambt,a,b ∈ℝ,a <t <b.Se dice que $C$ es una curva suave si su derivada
$z^{\text{'}}\left(t\right)$ = dz dt = dx dt + idy dt es continua.

Vídeo:

SEMANA 4

INTEGRAL APLICANDO EL TEOREMA DE CAUCHY

LINK Anexo Integrales Cerradas:        

INTEGRALES CERRADAS

SERIES DE POTENCIAS

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes  son los términos de una sucesión

• La serie geométrica  es una serie de potencias absolutamente convergente si  y divergente si  ó 

• La serie de potencias  es absolutamente convergente para todo 

• La serie de potencias  solamente converge para