Polos y Singularidades

Formalmente, sea U un subconjunto abierto del plano complejo C, sea a un elemento de U y f : U − {a} → C es una función holomorfa . Si existe una función holomorfa g : U → C y un número natural n tal que tal que

f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}

para toda z de U − {a}, entonces llamamos a a polo de f. Si el entero n, se escoge tan pequeño como sea posible, entonces n se le denomina orden del polo. Un polo de orden 1 también es llamado polo simple.

Equivalentemente, a es un polo de orden n≥ 0 de una función f si existe un entorno abierto U de a tal que f : U - {a} → C es holomorfa y el límite

\lim_{z\to a} (z-a)^n f(z)

existe y es diferente de 0.

SINGULARIDADES

A \subset \mathbb{C}

es un conjunto abierto, y

f: A-\{z_0\}\longrightarrow \mathbb{C}

(donde

z_0 \in A

) es una función analítica (i.e.,

f

es una función analítica en todo conjunto abierto menos un punto), entonces se dice que

z_0

es una singularidad de la función. Existen tres tipos de singularidades:

Singularidad evitable: Si $lim_{z\rightarrow z_o} (z-z_0)f(z)=0$ , la singularidad es removible y es posible extender analíticamente la función a todo $A$ . En este caso, la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene todos sus coeficientes de índice negativo iguales a cero. Ejemplo: $0$ es una singularidad removible de la función $f(z)=sin(z)/z$ , y se extiende mediante $f(0)=1$ .

Polo: Si $lim_{z\rightarrow z_o} f(z)=\infty$ , entonces la singularidad es un polo. En este caso, se dice que la función es meromorfa Se cumple que la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene una cantidad finita de coeficientes de índice negativo no nulos. El último índice negativo cuyo coeficiente es no nulo se llama el orden del polo. Ejemplo: $0$ es un polo de orden 1 de la función $f(z)=1/z$ .

Singularidad esencial: Si $\forall r>0, f(B(z_0,r)-z_0)$ es un conjunto denso en $\mathbb{C}$ , entonces la singularidad es esencial. En este caso, la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene una cantidad infinita de coeficientes de índice negativo no nulos. Ejemplo: $0$ es una singularidad esencial de la función $f(z)=e^{1/z}$ .

Se verifica que toda singularidad de una función analítica cae siempre dentro de uno y sólo uno de los casos recién listados.

Teorema de los Residuos

Presentación del Grupo:

Sea

f(z)

una función analítica en un dominio simplemente conexo D, excepto en un número finito de puntos

z_k

que constituyen singularidades aisladas de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos orientada positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades. Entonces se tiene:

\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_k \operatorname{Res}(f, z_k)

donde

\operatorname{Res}(f, z_k)

es el Residuo de la función, en el punto singular z_k.

Sea

f

holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial

f(z)\,dz

es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral

\int_C f(z)\, dz

es igual a

\int_{C'} f(z)\, dz

siempre que

C'

sea una curva homotópica con

C

En específico, podemos considerar una curva tipo

C'

la cual tiene una rotación alrededor de los puntos

a_j

sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva

C'

sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de

f

alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea

z=a_j+\rho e^{i\theta}

parametrización de la curva alrededor del punto

a_j

, entonces tendremos

dz=\rho i e^{i\theta}\, d \theta

, por lo tanto:

\int_C f(z)\, dz = \int_{C'} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j)\int_{\partial B_\rho(a_j)} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j) \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta}) \rho i e^{i\theta}\, d\theta

donde

\rho>0

, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas

B_\rho(a_j)

están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio

U

. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda

j

i\int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = 2\pi i \mathrm{Res}(f,a_j).

Sea

j

fija y apliquemos la serie de Laurent para

f

a_j:

f(z)= \sum_{k\in \mathbb Z} c_k (z-a_j)^k

de tal forma que

\rm{Res}(f,a_j)=c_{-1}

, donde c_-1, es el coeficiente de

{1 \over (z-a_j)}

en la serie de laurent. Entonces tenemos:

$\int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = \sum_k \int_0^{2\pi} c_k (\rho e^{i\theta})^k \rho e^{i\theta}\, d\theta =\rho^{k+1} \sum_k c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta.$

Observemos que si

k=-1

, tendremos

$\rho^{k+1} c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = c_{-1}\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi c_{-1} = 2\pi \,\mathrm{Res}(f,a_j)$

mientras que para

k\neq -1

tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que

$\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = \left[\frac{e^{i(k+1)\theta}}{i(k+1)}\right]_0^{2\pi} = 0.$

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN ORTOGONAL

PRESENTACIÓN DE GRUPO

FUNCIÓN GAMMA

En matemáticas, la función Gamma (denotada como

\scriptstyle \Gamma(z)\,\!

) es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero.

Si n es un entero positivo, entonces

\Gamma(n) = (n-1)!\,

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de z.

La función Gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

DEFINICION:

Si la parte real del número complejo z es positiva (Re(z) > 0), entonces la integral

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt \,\!

converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguiente propiedad:

\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)

Esta ecuación funcional generaliza la relación

n! = n (n-1)!

del factorial. Se puede evaluar

\Gamma(1)

analíticamente:

\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} \left. -e^{-t} \right |_0^k = -0 - (-1) = 1.

Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de la función Gamma:

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

para los números naturales n.

La función Gamma es una función meromorfa de

z\in\mathbb{C}

con polos simples en

z = -n\,\,(n = 0,\,1,\,2,\,3,\,\dots)

y residuos

\operatorname{Res}(\Gamma(z),-n) = \frac{(-1)^{n}}{n!}

. Estas propiedades pueden ser usadas para extender

\Gamma(z)

desde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

FUNCIÓN BETA

Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

e^{x+y} = e^x\,e^y.

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para

x

y

, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto

\Gamma(x) \Gamma(y)

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = \int_0^\infty s^{x-1}\,e^{-s}\,ds\,\int_0^\infty t^{y-1}\,e^{-t}\,dt = \int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty s^{x-1}t^{y-1}\,e^{-s-t}\,ds\,dt

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables

t = u^2

s = v^2

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty u^{2x-1}v^{2y-1}\,e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv.

Pasando a coordenadas polares

u = r\cos\theta

v=r\sin\theta

esta integral doble arroja

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\,\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}r^{2(x+y-1)}e^{-r^2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,r\,dr\,d\theta

Haciendo

t = r^2

obtenemos

\begin{align}\Gamma(x)\,\Gamma(y) &= 2\,\int_0^\infty t^{x+y-1}e^{-t}\,dt \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta)\,d\theta\\ &= 2\Gamma(x+y)\int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta \end{align}

Definiendo la función beta

$\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta,$

se obtiene

\Gamma(x)\Gamma(y) = \Gamma(x+y)\,\Beta(x,y).

FUNCION PERIODICA

En matemática, una función es periódica si los valores de la función se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período, o sea:

f \left ( x \right ) = f \left ( x + P \right )

donde P es el período.

De la misma manera, pero en un contexto físico, las ondas periódicas son aquellas ondas que muestran periodicidad respecto del tiempo,es decir, describen ciclos repetitivos. En una onda periódica se cumple:

x_a (t) = x_a (t+T_p) = x_a (t+nT_p) \,\!

donde el periodo propio fundamental

T_p = \frac {1}{F} \,\!

F \,\!

es la frecuencia de la componente fundamental de la onda periódica y

n \,\!

un número entero.

Toda onda periódica es, por definición, una onda determinista, por cuanto puede ser descrita matemáticamente (mediante un modelo matemático).

Impulso y la función de Delta de Dirac

La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \qquad \left[e.g. \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \right ]

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} ;

Es frecuente que en física la delta de Dirac se use como una distribución de probabilidad idealizada; técnicamente, de hecho, es una distribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de

\delta(x)

implica que

\delta(x)

posee dimensiones recíprocas a dx.

Definición como distribución de densidad

\int_a^b f(x) \delta (x-x_0) \,d x = \left\{\begin{matrix} f(x_0) & \mbox{si } a < x_0 < b \\ 0 & \mbox{si } x_0 < a \ \mbox{o} \ x_0 > b \end{matrix}\right.

Definición como límite de sucesiones de funciones

La delta de Dirac se define como "límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones f_n(x) converge distribucionalmente cuando:

$\left[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \right] \to d(\phi)$

Donde

\phi

es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones.

La delta de Dirac centrada se puede definir como el límite distribucional del funcional dado por

d(\phi)=\phi(0)

, es decir, el límite en el sentido de las distribuciones de una sucesión de funciones tales que:

$\left[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \right] \to \phi(0)$

Algunos ejemplos posibles de sucesión de funciones que cumpla lo anterior son:

$\begin{matrix} f_n(x)=\begin{cases} n \quad \|x\|<\frac{1}{2n}\\ 0 \quad \|x\|\ge\frac{1}{2n} \end{cases} & f_n(x)=\cfrac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2x^2} \\ f_n(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{n}{n^2x^2+1} & f_n(x)=\cfrac{\sin nx}{\pi x} \end{matrix}$

PROPIEDADES

Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral

$\delta(x)=\delta(-x)\,\!$
$f(x)\delta'(x)=-f'(x)\delta(x)\,\!$
$\delta'(x)=-\delta'(-x)\,\!$
$x^n\delta(x)=0 \qquad \forall n>0, x\in\mathbb{R}\,\!$
$(x-a)^n\delta(x-a)=0 \qquad \forall n>0\,\!$
$\delta(ax-b)=|a|^{-1}\delta(x-(b/a)) \qquad \forall a>0\,\!$
$h(x)\delta(x-a)=h(a)\delta(x-a)\,\!$
$h(x)\delta'(x-a) = h(a)\delta'(x-a)-h'(a)\delta(x-a)\,$
$\delta(f(x)) = \sum_n |f'(x_n)|^{-1}\delta(x-x_n), \quad \mbox{con}\ f(x_n)=0,\ f'(x_n)\ne 0$
$\delta(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega t}dt$

En coordenadas esféricas se tiene:

$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) = \begin{cases} \frac{1}{r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0) & x_0,y_0,z_0 \ne 0 \\ \frac{1}{2\pi r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0) & x_0=y_0=0,\ z_0 \ne 0 \\ \frac{1}{4\pi r^2}\delta(r-r_0) & x_0=y_0=z_0 = 0 \end{cases}$

SERIES DE FOURIER

PRESENTACIÓN DEL GRUPO

APORTE EXTRA

TRANSFORMADA DE FOURIER

PRESENTACIÓN DEL GRUPO

Definición

Sea f una función Lebesgue integrable:

$f \in L^1(\mathbb{R})$

La transformada de Fourier de f es la función

\mathcal{F} \{ f \} \ \ : \xi \mapsto \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i \xi x}\,dx,

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

\mathcal{F}^{-1} \{ \hat{f} \} = f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi,

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.

PROPIEDADES BÁSICAS

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

$\mathcal{F}\{ a\cdot f+b \cdot g \} =a \, \mathcal{F}\{ f \} + b \, \mathcal{F}\{ g \}.$

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:

Cambio de escala:

\mathcal{F} \{ f(at) \}(\xi) = \frac{1}{|a|} \cdot \mathcal{F} \{ f \} \bigg(\frac{\xi}{a}\bigg)

Traslación:

\mathcal{F} \{ f(t-a) \} (\xi)=e^{-i\xi a} \cdot \mathcal{F} \{ f \} (\xi)

Traslación en la variable transformada:

\mathcal{F}\{ f \} (\xi-a)= \mathcal{F} \{ e^{iat} f(t) \} (\xi)

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

\mathcal F \{ f' \} (\xi) = i\xi \cdot \mathcal{F} \{ f \}(\xi)

Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable.

\mathcal{F}\{ f \}' (\xi) = \mathcal{F} \{ (-it) \cdot f(t) \}(\xi)

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define de la manera siguiente:

(f * g)(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \cdot g(x - y) \, dy.

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

\mathcal{F}\{ f*g \} = \mathcal{F} \{ f \} \cdot \mathcal{F} \{ g \}

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

\mathcal{F} \{ f \cdot g \} =\mathcal{F}\{ f \}*\mathcal{F}\{ g \}.

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER

ENLACE

INFORMACIÓN EXTRA

PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA

Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuación diferencial ordinaria de orden

y de

condiciones de frontera impuestas sobre la función desconocida en

valores de la variable independiente.

.Es decir

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \frac{d^n y}{d x^n} & = & f(x,y,y^{(1)}... ...s & = & \vdots \\ y(x_{n-1}) & = & y_{n-1} \\ \end{array} \end{displaymath}$

Ejemplo

Una partícula

se mueve a lo largo del eje

de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo $t \geq 0$ está dada por

. Encuentre la posición

de la partícula en cualquier tiempo

, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en

y en

está en

El problema de valores de frontera asociado es

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \frac{d^2 x}{d t^2} & = & 8 - 4t + t^2 \\ x(0) & = & 1 \\ x(2) & = & 7 \\ \end{array} \end{displaymath}$

Integrando dos veces obtenemos que la posición de la partícula está dada por

$\begin{displaymath} x(t) = \frac{1}{12} t^4 - \frac{2}{3} t^3 + 4 t^2 + A t + B \end{displaymath}$

Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema

$\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{rcl} B & = & 1 \\ 2 A + B & = & -5 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

de donde

. Y así la posición de la partícula en cualquier tiempo está dada por

$\begin{displaymath} x(t) = \frac{1}{12} t^4 - \frac{2}{3}t^3 + 4t^2 - 3t + 1 \end{displaymath}$

ENLACE

INFORMACIÓN ADICIONAL

ECUACIÓN DE ONDA

DEMOSTRACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ONDA

La ecuación de una onda es una función de la posición y del tiempo, y = f (x,t ). Una onda armónica unidimensional es aquella que propagándose en una dimensión puedes describirla mediante una función sinusoidal (seno o coseno).

Supón que el extremo de una cuerda tensa vibra con un m.a.s.. Los distintos puntos de la cuerda describirán movimientos armónicos de las mismas características. Puedes observar que es así en la animación adjunta. Observa como el punto rojo vibra con el mismo m.a.s. que el extremo de la cuerda

La elongación del extremo (x=0) de la cuerda en un instante será: