Diciembre

Criterio de la Raíz
Este criterio se puede utilizar con una serie de potencias
donde los coeficientes cn, y el centro p son números complejos, y el argumento zes una variable compleja.
Los términos de esta serie vendrían dados por an = cn(z − p)n. Entonces se aplica el criterio de la raíz a an como se vio más arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie de potencias "alrededor de p", ya que el radio de convergencia es el radio R del mayor intervalo o disco centrado en p de manera que el serie converge para todos los puntos z estrictamente en el interior del intervalo o disco. Como corolario del criterio de la raíz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},, teniendo cuidado de que es ∞ si el denominador es 0.

CRITERIOS DE CONVERGENCIA COMPARATIVOS

Son aplicables en caso de disponer de otra serie \sum(b_n) tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.

Criterio de comparación directa


(de la mayorante o de Gauss)
Si 0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0
  • Si \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge
  • Si \sum(a_n) diverge \Rightarrow \sum(b_n) diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente


Sean \sum_{n=1}^\infty {a_n} y \sum_{n=1}^\infty {b_n} series de términos no negativos. Si existe
\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{n}}{b_n} \right )=L \in \, [0 , +\infty ) \cup (-\infty\, 0] , entonces:
  • Si  L= 0  y la serie \sum(b_n) converge entonces  \sum(a_n)  converge.
  • Si  L=+\infty\  y \sum(b_n) diverge entonces \sum(a_n)  diverge.
  • Si  0<L<+\infty  entonces las series \sum_{n=1}^\infty {a_n}  y  \sum_{n=1}^\infty {b_n}  comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
  •  
 SERIE DE TAYLOR

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
  • La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
  • Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
  • Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:
f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots
que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:
\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,
donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valora de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como 0! como  1 (0! = 1). En caso de sera = 0, como ya se mencionara, la serie se denomina también de Maclaurin.
Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma \sum^{}_{}a_n(x-a)^n siempre se puede hacer el cambio de variable z=x-a(con lo que x=z+a en la función a desarrollar original) para expresarla como \sum^{}_{}a_nz^n centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función f(x)=x\ln x alrededor de a = 1 se puede tomar z=x-1, de manera que se desarrollaría f(z+1)=(z+1)\ln(z+1) centrada en 0.

SERIE DE LAURENT

En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático en:Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en el año 1843.

Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto c\, es una serie de la forma:
\sum_{k=-\infty}^\infty a_k (z-c)^k donde a_k, c, z \in \mathbb{C}.
Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):
D := \{z \in \mathbb{C} \mid R_1 < |z-c| < R_2 \}
Donde:
R_1 := \limsup_{k \rightarrow\infty} |a_{-k}|^{1/k} y  R_2 := \frac{1}{\limsup_{k \rightarrow\infty} |a_{k}|^{1/k}}
Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:
f(z) := \sum_{k=-\infty}^\infty a_k (z-c)^k,
cuyo dominio es el conjunto de puntos en \mathbb{C} sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona D; inversamente, toda función en unacorona es igual a una única serie de Laurent.



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